汕头市金山中学2012-2013届高三上学期期末模拟考试
数学（文）试题
本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，时间120分钟.
第Ⅰ卷（选择题 共50分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分；在每个小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）．
1．设集合 ， ，则A∩B等于（ ）
A． R B． C． {0} D．
2．命题“ ”的否定是（ ）
A． B． C． D．
3．“m<”是“一元二次方程x2＋x＋m＝0有实数解”的（ ）．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．如果a，b，c满足c<b<a且ac<0，那么下列选项中不一定成立的是( )
A．ab>ac B．c(b－a)>0 C．ac(a－c)<0 D．cb2<ab2
5．若向量 ，且 与 共线，则实数 的值为( )
A． B．1 C．2 D． 0
6．设 是公差为正数的等差数列，若 ， ，则 （ ）
A．18 B．12 C．30 D．24
7．已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 则△ABC的形状是（ ）
A．钝角三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形
8．把函数 的图象向左平移m (m＞0)个单位后，所得的图象关于y轴对称，则m的最小值是( )
9．已知 为偶函数,且 当 时, ，则 （ ）
A． B． C． D．
10．定义方程 的实数根 叫做函数 的“新驻点”，如果函数 ，
， （ ）的“新驻点”分别为 ， ， ，那么 ，
， 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷 （非选择题 共100分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）．
11．在等比数列 中, 且 ，则 __________.
12．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a= ，b=2，sinB+cosB=0，则角A的大小为_____________.
13．若点(1，0)在关于 的不等式组 所表示的平面 区域内，则 的最小值为 ．
14. 在 中，O为中线AM上一个动点，若AM=2，则 的最小值是________.
三、解答题（本大题共6小题，共80分；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）．
15．（本小题满分12分）设命题 函数 是 上的减函数，命题 函数 在 上递增．若“ 且 ”为假命题，“ 或 ”为真命题，求 的取值范围．
16．（本小题满分12分）设△ABC三个角A，B，C的对边分别为
若 .
（1）求角B的大小；
（2）若 ，求 的取值范围.
17．（本小题满分14分）已知函数 ，
（1）当 时，求该函数的定义域和值域；
（2）当 时，如果 ≥ 在 上恒成立，求实数 的取值范围.
18． (本小题满分14分）如图，2012年春节，摄影爱好者S在某公园A处，发现正前方B处有一立柱，测得立柱顶端O的仰角和立柱底部B的俯角均为 ，已知S的身高约为 米（将眼睛距地面的距离按 米处理）
(1) 求摄影者到立柱的水平距离和立柱的高度；
(2) 立柱的顶端有一长2米的彩杆MN绕中点O在S与立柱所在的平面内旋转．摄影者有一视角范围为 的镜头，在彩杆转动的任意时刻，摄影者是否都可以将彩杆全部摄入画面？说明理由．
19．（本小题满分14分）设函数 ，对于正数数列 ，其前 项和为 ，且 ， .
（1）求数列 的通项公式；
（2）是否存在等比数列 ，使得 对一切正整数 都成立？若存在，请求出数列 的通项公式；若不存在，请说明理由.
20.（本小题满分14分 ）已知函数 是函数 的极值点.
（1）当 时，求函数 的单调区间；
（2）若函数 有两个零点，求实数 满足的条件；
（3）直线 是函数 与函数 的图象在 处的公切线，若 ，
求 的取值范围.
★ 高三文科数学 参考答案
一、选择题（50分）
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题号
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1
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2
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3
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4
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5
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6
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7
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8
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9
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10
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答案
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C
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D
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A
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D
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A
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C
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B
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C
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A
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D
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二、填空题（20分）
11. 2 12. 30° 13. 14. -2
三、解答题（80分）
15. （本小题满分12分）
解：由 得 …2分
，在 上递增，得 ……4分
且 为假， 或 为真, 、 一真一假． ……6分
若 真 假得， , 若 假 真得， ． ……10分
综上所得， 的取值范围是 或 ． ……12分
16、（本小题满分12分）
解 :（1）由 得
即
,
……3分
得 ． …… 5分
（2）由（1）知 ，
∴ ， ……6分
于是 = = ． ……10分
∴ ，即 ． …12分
17、（本小题满分14分）
解：(1) 当 时，
令 ，解得
所以函数 的定义域为 . 3分
令 ，则
所以
因此函数 的值域为 6分
(2) 解法一： 在区间 上恒成立等价于 在区间 上恒成立 ……7分
令
当 时， ，所以 满足题意. 8分
当 时， 是二次函数，对称轴为 ，
当 时， ， ，解得 10分
当 时， ， ，解得 12分
综上， 的取值范围是 14分
解法二： 在区间 上恒成立等价于 在区间 上恒成立
由 且 时， ，得 9分
令 ，则 12分
所以 在区间 上是增函数，所以
因此 的取值范围是 . 14分
18、（本小题满分14分）
解：(1) 如图,不妨将摄影者眼部设为S点,做SC垂直OB于C,
又 故在 中,可求得BA=3,即摄影者到立柱的水平距离为3米……… 3分
由SC=3， 在 中,可求得
又 故 即立柱高为 米. ------------------------ 6分
(2) （注：若直接写当 时， 最大，并且此时 ，得2分）
连结SM,SN, 在△SON和△SOM中分别用余弦定理,
……10分
故摄影者可以将彩杆全部摄入画面. …………………………………………… …… 14分
19、（本小题满分14分）
解：（1）由 ， ，
得 ①
， ②
即 ，
即 ，即 ……4分
∵ ＞ ，∴ ，即数列 是公差为2的等差数列，由①得， ，解得 ……6分
因此 ，数列 的通项公式为 . ……7分
（2）假设存在等比数列 ，使得对一切正整数 都有
③
当 时，有 ④
③－④，得 ，由 得， ……12分
又 满足条件， ……13分
因此，存在等比数列 ，使得 对一切正整数 都成立. ……14分
20、（本小题满分14分）
解：（1） ,
． ……1分
由已知得， 解得a=1． ……2分
．
当 时， ，当 时， ． ……3分
当 时， 的递增区间为 ，递减区间为 ． ……4分
（2）由（1）知，当 时， 单调递减，
当 ， 单调递增， . ……6分
要使函数 有两个零点，则函数 的图象与直线 有两个不同的交点.
①当 时，m=0或 ； ……7分
②当b=0时， ； ……8分
③当 . ……9分
（3） 时，
，
两式相除得 ，整理得
…12分
令
则
在 递减
仅在 取等号， 在 递减
……14分