汕头金山中学2012-2013届高三上学期期末模拟数学试题(文)

汕头市金山中学2012-2013届高三上学期期末模拟考试

数学（文）试题

本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，时间120分钟.

第Ⅰ卷（选择题  共50分）

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分；在每个小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）．

1．设集合 ， ，则A∩B等于（   ）

A． R    B．    C．  {0}     D．

2．命题“ ”的否定是（  ）

A．   B．   C．   D．

3．“m<”是“一元二次方程x²＋x＋m＝0有实数解”的（   ）．

A．充分不必要条件       B．必要不充分条件     C．充要条件   D．既不充分也不必要条件

4．如果a，b，c满足c<b<a且ac<0，那么下列选项中不一定成立的是(　  )

A．ab>ac          B．c(b－a)>0        C．ac(a－c)<0    D．cb²<ab²

5．若向量 ，且 与 共线，则实数 的值为(    )

A．                   B．1            C．2            D． 0

6．设 是公差为正数的等差数列，若 ， ，则 （  ） 

A．18        B．12        C．30        D．24

7．已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 则△ABC的形状是（   ）

A．钝角三角形      B．等边三角形       C．直角三角形      D．等腰直角三角形

8．把函数 的图象向左平移m (m＞0)个单位后，所得的图象关于y轴对称，则m的最小值是(    )

9．已知 为偶函数,且 当 时, ，则 （   ）

A．            B．            C．            D．

10．定义方程 的实数根 叫做函数 的“新驻点”，如果函数 ，

， （ ）的“新驻点”分别为 ， ， ，那么 ，

， 的大小关系是（    ）

A．        B．        C．        D．

 

 

第Ⅱ卷  （非选择题  共100分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）．

11．在等比数列 中, 且 ，则 __________.

12．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a= ，b=2，sinB+cosB=0，则角A的大小为_____________.

13．若点(1，0)在关于 的不等式组 所表示的平面 区域内，则 的最小值为         ．

14. 在 中，O为中线AM上一个动点，若AM=2，则 的最小值是________.

 

三、解答题（本大题共6小题，共80分；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）．

15．（本小题满分12分）设命题 函数 是 上的减函数，命题 函数 在 上递增．若“ 且 ”为假命题，“ 或 ”为真命题，求 的取值范围．

 

16．（本小题满分12分）设△ABC三个角A，B，C的对边分别为

若 .

（1）求角B的大小；

（2）若 ，求 的取值范围.

 

 

17．（本小题满分14分）已知函数 ，

（1）当 时，求该函数的定义域和值域；

（2）当 时，如果 ≥ 在 上恒成立，求实数 的取值范围.

 

 

 

 

 

 

 

18． (本小题满分14分）如图，2012年春节，摄影爱好者S在某公园A处，发现正前方B处有一立柱，测得立柱顶端O的仰角和立柱底部B的俯角均为 ，已知S的身高约为 米（将眼睛距地面的距离按 米处理）

(1) 求摄影者到立柱的水平距离和立柱的高度；

(2) 立柱的顶端有一长2米的彩杆MN绕中点O在S与立柱所在的平面内旋转．摄影者有一视角范围为 的镜头，在彩杆转动的任意时刻，摄影者是否都可以将彩杆全部摄入画面？说明理由．

 

19．（本小题满分14分）设函数 ，对于正数数列 ，其前 项和为 ，且 ， .

（1）求数列 的通项公式；

（2）是否存在等比数列 ，使得 对一切正整数 都成立？若存在，请求出数列 的通项公式；若不存在，请说明理由.

 

20.（本小题满分14分 ）已知函数 是函数 的极值点.

（1）当 时，求函数 的单调区间；

（2）若函数 有两个零点，求实数 满足的条件；

（3）直线 是函数 与函数  的图象在 处的公切线，若 ，

求 的取值范围.

 

 

 

     ★ 高三文科数学  参考答案

一、选择题（50分）

题号	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
答案	C	D	A	D	A	C	B	C	A	D

 

二、填空题（20分）

11.  2       12.  30°      13.       14. -2

三、解答题（80分）

15. （本小题满分12分）

解：由 得                                 …2分

，在 上递增，得            ……4分

且 为假， 或 为真,  、 一真一假．             ……6分

若 真 假得，  ,     若 假 真得， ．   ……10分  

综上所得， 的取值范围是 或 ．           ……12分

16、（本小题满分12分）

解 :（1）由 得

即

,

                               ……3分

得 ．                                  …… 5分

（2）由（1）知 ，            

∴ ，        ……6分

于是 = = ． ……10分  

 

∴ ，即 ．      …12分 

17、（本小题满分14分）

解：(1) 当 时，

令 ，解得

所以函数 的定义域为 .            3分

令 ，则

所以

因此函数 的值域为              6分

(2) 解法一： 在区间 上恒成立等价于 在区间 上恒成立                                   ……7分

令

当 时， ，所以 满足题意.             8分

当 时， 是二次函数，对称轴为 ，

当 时， ， ，解得       10分

 

当 时， ， ，解得      12分

 

综上， 的取值范围是              14分

解法二： 在区间 上恒成立等价于 在区间 上恒成立

由 且 时， ，得         9分

令 ，则                  12分

所以 在区间 上是增函数，所以

因此 的取值范围是 .             14分

18、（本小题满分14分）

解：(1) 如图,不妨将摄影者眼部设为S点,做SC垂直OB于C,

又 故在 中,可求得BA=3,即摄影者到立柱的水平距离为3米……… 3分

由SC=3， 在 中,可求得

又 故 即立柱高为 米. ------------------------ 6分

(2) （注：若直接写当 时， 最大，并且此时 ，得2分）

连结SM,SN, 在△SON和△SOM中分别用余弦定理,

            ……10分

 

故摄影者可以将彩杆全部摄入画面. …………………………………………… …… 14分

19、（本小题满分14分）

解：（1）由 ，  ，

   得           ①       

      ，           ②

即   ，  

即  ，即     ……4分                

∵ ＞ ，∴  ，即数列 是公差为2的等差数列，由①得， ，解得                     ……6分

因此 ，数列 的通项公式为 .                ……7分

（2）假设存在等比数列 ，使得对一切正整数 都有

        ③

 当 时，有    ④

③－④，得  ，由 得，     ……12分           

又 满足条件，                           ……13分

因此，存在等比数列 ，使得 对一切正整数 都成立.                                                            ……14分

20、（本小题满分14分）

解：（1） ,

．                        ……1分

由已知得， 解得a=1．             ……2分

．

当 时， ，当 时， ．              ……3分

当 时， 的递增区间为 ，递减区间为 ．         ……4分

（2）由（1）知，当 时， 单调递减，

当 ， 单调递增， .             ……6分

要使函数 有两个零点，则函数 的图象与直线 有两个不同的交点.

①当 时，m=0或 ；                                   ……7分

②当b=0时， ；                                     ……8分

③当 .                                                              ……9分

（3） 时，

，

两式相除得 ，整理得

                                  …12分

令

则

        

在 递减

仅在 取等号，   在 递减

                                     ……14分