茂名一中2011-2012学年下学期高三第三次月考
数学（理科）试题
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个答案中，只有一个答案是正确的，请把答案写在答题卷的表格中。
1、已知复数Z的实部为-1，虚部为2，则 的值是（ ）
A、2-i B、2+I C、-2-i D、-2+i
2．设集合 ，则下列关系中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3． 是数列 的前 项和，则“数列 为常数列”是
“数列 为等差数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．执行如图所示的程序框图，若输入x=0.1，则输出m的值是（ ）
A．0 B．0.1 C．1 D．-1
5．从6人中选4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有（ ）
A．300种 B．240种 C．144种 D．96种
6．如图： 是同一平面内的四条平行直线，且每相领的两条平行直线间的距离都是 ，正方形ABCD的四个顶点分别在这四条直线上，
且正方形的边长为5，则 =（ ）。
A. B. C. D.
7．直线y=一 x与椭圆C： =1(a>b>0)交于A、B两点，以线段AB为直径的圆恰好经过椭圆的右焦点，则椭圆C的离心率为( ) ．
A． B． C． D．4-2
8．对实数 和 ，定义运算“ ”： 设函数 若函数 的图像与 轴恰有两个公共点，则实数 的取值范围是
A． B．
C． D．
二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．
（一）必做题（9～13题）
9．计算 = ．
10．在(1+ )2一(1+ )4的展开式中，x的系数等于 ．(用数字作答)
11.某型号冰淇淋上半部分是半球，下关部分是圆锥，其正视图如图所示，
则该型号冰淇淋的体积等于 。
12、二维空间中圆的一维测度（周长）l＝2πr，二维测度（面积）S＝πr2，观察发现S′＝l；
三维空间中球的二维测度（表面积）S＝4πr2，三维测度（体积）V＝ πr3，观察发现V′＝S。
则四维空间中“超球”的三维测度V＝8πr3，猜想其四维测度W＝ 。
13设函数 ，若a从1、2、3这三个数中任取一个所得的数，b 是从2、3、4、5这四个数中任取一个所得的数，则使f(x)>b恒成立的概率为
（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题。两题全答的，只计第14题的得分）
14．（几何证明选讲选做题）
如图，在△ABC中，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝120°。以点B为圆心，BC的长为半径的半圆交AC于D点，则cos∠ABD= 。
15（极坐标与参数方程选做题）
已知在极坐标系下，点 ， ， 是极点，则 的面积等于 ．
三、解答题(本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。请在答题卷相应题目的答题区域内作答)
16.(本题满分12分）
已知等比数列{an}的公比q=3，前3项和S3= 。
（I）求数列{an}的通项公式；
（II）若函数 在 处取得最大值，且最大值为a3，求函数f（x）的解析式。
17（本题满分12分）
某学校的场室统一使用“佛山照明”的一种灯管，已知这种灯管使用寿命 （单位：月）服从正态分布 ，且使用寿命不少于 个月的概率为 ，使用寿命不少于 个月的概率为 .
（1）求这种灯管的平均使用寿命；
（2）假设一间功能室一次性换上 支这种新灯管，使用 个月时进行一次检查，将已经损坏的灯管换下（中途不更换），求至少两支灯管需要更换的概率.
18（本题满分12分）
某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y（单位：千克）与销售价格x（单位：元/千克）满足关系式 ，其中3<x<6，a为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克。
（I）求a的值
（II）若该商品的成品为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大。
19（本题满分14分）
如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，四边形ABCD中，AB⊥AD，AB+AD=4，
CD= ， ．
（I）求证：平面PAB⊥平面PAD；
（II）设AB=AP．
（i）若直线PB与平面PCD所成的角为 ，求线段AB的长；
（ii）在线段AD上是否存在一个点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等？说明理由。
20．(本题满分14分)
在平面直角坐标系xOy中，已知点A(-1，1)，P是动点，且三角形POA的三边所在直线的斜率满足kOP+kOA=kPA．
( I)求点P的轨迹C的方程；
(Ⅱ)若Q是轨迹C上异于点P的一个点，且 ，直线OP与QA交于点M，问：是否存在点P使得△PQA和△PAM的面积满足S△PQA=2S△PAM?若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
21 (本小题满分14分)[学科
定义：如果数列 的任意连续三项均能构成一个三角形的三边长，则称 为“三角形”数列．对于“三角形”数列 ，如果函数 使得 仍为一个“三角形”数列，则称 是数列 的“保三角形函数”， .
（Ⅰ）已知 是首项为2，公差为1的等差数列，若 是数列 的“保三角形函数”，求k的取值范围；
（Ⅱ）已知数列 的首项为2010， 是数列 的前n项和，且满足 ，证明 是“三角形”数列；
（Ⅲ）根据“保三角形函数”的定义，对函数 ， ，和数列1， ， ，（ ）提出一个正确的命题，并说明理由．
参考答案
一 选择题 1 A 2B 3A 4A 5B 6C 7C 8B
二 填空题：
9、 2 ；10 、-3 ；11、 54π；12 、2πr4 ；13、 ； 14、 ； ⒖ ．
三、解答题
16 解：（I）由
解得 所以
（II）由（I）可知
因为函数 的最大值为3，所以A=3。
因为当 时 取得最大值，所以
又 所以函数 的解析式为
17、解：（1）∵ ， ， ，∴ ， 显然 ……3分
由正态分布密度函数的对称性可知， ，
即每支这种灯管的平均使用寿命是 个月；………5分
（2）每支灯管使用 个月时已经损坏的概率为 ………6分
假设使用 个月时该功能室需要更换的灯管数量为 支，则 ，……8分
故至少两支灯管需要更换的概率
…12分
18 、解：（I）因为x=5时，y=11，所以
（II）由（I）可知，该商品每日的销售量
所以商场每日销售该商品所获得的利润
从而，
于是，当x变化时， 的变化情况如下表：
|
|
（3，4）
|
4
|
（4，6）
|
|
|
+
|
0
|
-
|
|
f(x)
|
单调递增
|
极大值42
|
单调递减
|
由上表可得，x=4是函数 在区间（3，6）内的极大值点，也是最大值点；
所以，当x=4时，函数 取得最大值，且最大值等于42。
答：当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大。
19、（I）因为 平面ABCD， 平面ABCD，所以 ，
又 所以 平面PAD。
又 平面PAB，所以平面 平面PAD。
（II）以A为坐标原点，建立空间直角坐标系A—xyz（如图）
在平面ABCD内，作CE//AB交AD于点E，则
在 中，DE= ，
设AB=AP=t，则B（t，0，0），P（0，0，t）
由AB+AD=4，得AD=4-t，
所以 ，
（i）设平面PCD的法向量为 ，
由 ， ，得
取 ，得平面PCD的一个法向量 ，
又 ，故由直线PB与平面PCD所成的角为 ，得
解得 （舍去，因为AD ），所以
（ii）假设在线段AD上存在一个点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等，
设G（0，m，0）（其中 ）
则 ，
由 得 ，（2）
由（1）、（2）消去t，化简得 （3）
由于方程（3）没有实数根，所以在线段AD上不存在一个点G，使得点G到点P，C，D的距离都相等。
从而，在线段AD上不存在一个点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等。
20．（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）设点 为所求轨迹上的任意一点，
则由 得， ，
整理得轨迹 的方程为 （ 且 ）. 4分
（Ⅱ）方法一、
设 ，
由 可知直线 ，则 ，
故 ，即 ，······ 6分
由 三点共线可知， 与 共线，
∴ ，
由（Ⅰ）知 ，故 ，······· 8分
同理，由 与 共线，
∴ ，
即 ，
由（Ⅰ）知 ，故 ，·········· 10分
将 ， 代入上式得 ，
整理得 ，
由 得 ， ······················· 12分
由 ，得到 ，因为 ，所以 ，
由 ，得 ，∴ 的坐标为 ． ··········· 14分
方法二、设 由 可知直线 ，则 ，
故 ，即 ，·················· 6分
∴直线OP方程为： ①；··················· 8分
直线QA的斜率为： ，
∴直线QA方程为： ，即 ②；· 10分
联立①②，得 ，∴点M的横坐标为定值 ．·········· 12分
由 ，得到 ，因为 ，所以 ，
由 ，得 ，∴ 的坐标为 ．··········· 14分
21 、解：（1）显然 ， 对任意正整数都成立，
即 是三角形数列． …… 2分
因为k>1，显然有 ，
由 得 ，解得 .
所以当 时， 是数列 的“保三角形函数”. …… 5分
（2）由 得 ,两式相减得
所以， ，
经检验，此通项公式满足 ……7分
显然 ，因为 ，
所以 是“三角形”数列． …… 10分
（3）探究过程： 函数 ， 是数列1，1+d，1+2d 的“保三角形函数”，必须满足三个条件：
①1，1+d，1+2d 是三角形数列，所以 ，即 ．
②数列中的各项必须在定义域内，即 .
③ 是三角形数列.
由于 ， 是单调递减函数，所以 ，解得 ．